Pythagoras sats: så räknar ni ut kateter och hypotenusa tillsammans

När läxan plötsligt handlar om en rätvinklig triangel

Klockan är sju en torsdagskväll. Provet är imorgon, och ni sitter båda och stirrar på en triangel med en liten fyrkant i ena hörnet. Barnet minns att läraren sa något om Pythagoras sats, men ingen av er kommer ihåg hur formeln egentligen såg ut. Det här är en av de vanligaste stunderna vid svenska köksbord, och den går faktiskt att lösa på under en kvart.

Pythagoras sats dyker upp i årskurs 8 eller 9 och följer sedan med genom hela gymnasiet. Den är samtidigt en av de mer konkreta delarna av matematiken, för den handlar om något man faktiskt kan rita, mäta och känna igen med fingrarna. Här går vi igenom vad satsen säger, hur ni räknar steg för steg, och var den dyker upp utanför läroboken.

Vad är Pythagoras sats?

Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika stor som summan av kvadraterna på de två kateterna. Formeln skrivs a² + b² = c², där a och b är kateterna och c är hypotenusan. Satsen gäller bara trianglar som har exakt en rät vinkel, alltså en vinkel på 90 grader.

Den räta vinkeln markeras nästan alltid med en liten fyrkant i hörnet av triangeln, inte med en böjd båge som andra vinklar brukar ha. Ser ni fyrkanten vet ni direkt att Pythagoras sats går att använda. Saknas fyrkanten, eller är ni osäkra på om vinkeln verkligen är rät, går det inte att lita på formeln.

Pythagoras sats finns med i grundskolans matematik enligt Skolverkets läroplan för grundskolan, och den återkommer sedan i flera av gymnasiets matematikkurser. Det som gör satsen så användbar är att den binder ihop tre sidor i en enda enkel ekvation. Kan man två av sidorna, går den tredje alltid att räkna fram.

Vad är hypotenusan och vad är kateter?

Kateterna är de två sidorna som ligger intill den räta vinkeln, och hypotenusan är sidan som ligger mitt emot den räta vinkeln. Hypotenusan är alltid den längsta sidan i en rätvinklig triangel, oavsett hur triangeln är vriden på pappret.

Ett enkelt sätt att minnas det: leta reda på fyrkanten som markerar den räta vinkeln. De två sidorna som möts i det hörnet är kateter. Sidan som sträcker sig mellan de två andra hörnen, utan att röra fyrkanten, är hypotenusan.

Det spelar ingen roll vilken katet som kallas a och vilken som kallas b, summan a² + b² blir densamma ändå. Hypotenusan kallas alltid c, eftersom den står ensam på andra sidan likhetstecknet i formeln.

Pythagoras sats formel, steg för steg

För att räkna ut en okänd triangelsida sätter ni in de kända sidorna i a² + b² = c² och löser ut det som saknas. Ordningen är densamma varje gång, oavsett vilken sida som saknas.

1. Bestäm vilka två sidor som är kateter och vilken sida som är hypotenusa.
2. Sätt in de kända värdena i formeln a² + b² = c².
3. Kvadrera talen, det vill säga multiplicera varje tal med sig självt.
4. Räkna ut summan om ni söker hypotenusan, eller differensen om ni söker en katet.
5. Ta roten ur svaret för att få fram sidans faktiska längd.

Det femte steget glöms lätt bort, kväll efter kväll, i hushåll över hela landet. Kvadraten på en sida är inte samma sak som sidans längd. Man måste alltid ta roten ur i slutet för att komma tillbaka till en längd i centimeter eller meter.

Exempel: triangeln med sidorna 3, 4 och 5

Ett klassiskt sätt att testa formeln är en rätvinklig triangel med kateterna 3 centimeter och 4 centimeter, och hypotenusan 5 centimeter. Sätter vi in siffrorna i formeln får vi 3² + 4² = 5², vilket blir 9 + 16 = 25.

Roten ur 25 är 5, precis den längd hypotenusan faktiskt hade. Det är ett bra exempel att räkna igenom tillsammans första gången, eftersom alla tal blir hela och lätta att kontrollera för hand, gärna med en miniräknare bredvid för att dubbelkolla.

Exempel: när hypotenusan är okänd

Säg att en rätvinklig triangel har kateterna 6 centimeter och 8 centimeter, men att hypotenusan, som vi kallar x, är okänd. Vi sätter in de kända värdena: 6² + 8² = x², vilket ger 36 + 64 = 100.

Roten ur 100 är 10, så hypotenusan är 10 centimeter lång. Samma tillvägagångssätt fungerar oavsett vilka siffror som finns i uppgiften, bara vinkeln är rät.

Exempel: när en katet är okänd

Ibland är det istället en katet som saknas. Om hypotenusan är 10 centimeter och en katet är 6 centimeter, sätter vi in det vi vet: 6² + b² = 10², vilket blir 36 + b² = 100.

Nu flyttar vi över 36 till andra sidan och får b² = 64. Roten ur 64 är 8, så den okända kateten är 8 centimeter. Lägg märke till att uträkningen ser lite annorlunda ut när det är en katet, och inte hypotenusan, som saknas. Det är just den skillnaden som skapar flest frågetecken vid köksbordet.

Hur räknar man ut en vinkel i en rätvinklig triangel?

Pythagoras sats ger inte vinklar direkt, den ger längden på sidor. För att beräkna en vinkel i en rätvinklig triangel behövs istället trigonometriska funktioner som sinus, cosinus eller tangens. De bygger på förhållandet mellan sidorna, inte bara summan av dem.

Ett exempel: känner ni till den motstående kateten och den närliggande kateten till en vinkel, kan ni räkna ut tangens för den vinkeln genom att dela motstående katet med närliggande katet. Sedan används en miniräknare med tangens-funktion baklänges för att hitta själva vinkeln i grader.

Pythagoras sats kommer ofta in som ett första steg innan trigonometrin, eftersom man behöver känna till alla tre sidorna för att räkna vidare. Satsen kan också användas för att kontrollera om en triangel överhuvudtaget är rätvinklig: om summan av kvadraterna på de två kortaste sidorna är lika med kvadraten på den längsta sidan, då är triangeln rätvinklig. Det brukar dyka upp som en egen uppgiftstyp på prov i årskurs 9.

Pythagoras sats i vardagen, inte bara i boken

Formeln känns ofta abstrakt i skolboken, men den dyker upp i situationer som är lätta att känna igen. En stege som lutar mot en vägg bildar en rätvinklig triangel, där stegens längd är hypotenusan, avståndet mellan väggen och stegens fot är en katet, och höjden upp längs väggen är den andra kateten.

Samma princip används när man ska räkna ut avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem, till exempel i geometri på gymnasiet. Skillnaden i x-led blir en katet, skillnaden i y-led blir den andra kateten, och avståndet mellan punkterna blir hypotenusan.

Även måttet på en tv-skärm bygger på Pythagoras sats. När en skärm anges i tum mäts den diagonalt, det vill säga som hypotenusan i en rätvinklig triangel där skärmens bredd och höjd är kateterna. Nästa gång ni handlar en ny tv tillsammans går det faktiskt att räkna efter om skärmen får plats på väggen, med samma formel som i läxan.

Vanliga misstag när man räknar med Pythagoras sats

Vissa fel återkommer termin efter termin, oavsett vilken årskurs eleven går i. Att känna igen dem i förväg gör läxstunden mindre frustrerande för er båda.

• Blanda ihop hypotenusan med en katet - hypotenusan är alltid den längsta sidan och ligger alltid mitt emot den räta vinkeln, aldrig intill den.
• Glömma roten ur i sista steget - svaret på a² + b² är en area, inte en längd, så roten ur måste alltid tas till sist.
• Använda formeln på en triangel utan rät vinkel - saknas fyrkanten i hörnet fungerar inte a² + b² = c², då krävs andra samband, som cosinussatsen.
• Addera fel sidor - det är alltid de två kateterna som adderas, aldrig en katet och hypotenusan.

Att repetera en formel i korta, återkommande pass, snarare än i ett långt sammanhängande läspass, är en teknik som lyfts fram av Specialpedagogiska skolmyndigheten om studieteknik. Tio minuter varje kväll under en vecka ger ofta bättre resultat än en hel kväll rakt innan provet.

Övningar att öva på hemma

Bäst lär man sig Pythagoras sats genom att räkna själv, gärna med papper och penna framför sig, inte bara genom att titta på när någon annan räknar. Här är tre exempel att testa tillsammans, med lösningen direkt under.

Övning 1: En rätvinklig triangel har kateterna 5 centimeter och 12 centimeter. Hur lång är hypotenusan? Lösning: 5² + 12² = 25 + 144 = 169, roten ur 169 är 13, så hypotenusan är 13 centimeter.

Övning 2: En rätvinklig triangel har hypotenusan 13 centimeter och en katet 5 centimeter. Hur lång är den andra kateten? Lösning: 13² minus 5² är 169 minus 25, vilket blir 144, och roten ur 144 är 12, så kateten är 12 centimeter.

Övning 3: En stege är 4,5 meter lång och lutar mot en vägg. Foten av stegen står 1,5 meter från väggen. Hur högt upp på väggen når stegen? Lösning: 4,5² minus 1,5² är 20,25 minus 2,25, vilket blir 18, och roten ur 18 är ungefär 4,2 meter.

Fastnar ni på liknande uträkningar med bråk eller procent i andra ämnen, finns samma steg för steg-upplägg i artikeln om hur man räknar ut procent. Samma sak gäller geometri kring cirklar, som beskrivs i artikeln om hur ni räknar ut omkretsen på en cirkel tillsammans.

När det är dags för hjälp utifrån

De flesta familjer klarar Pythagoras sats själva vid köksbordet. Men det finns kvällar när ingen orkar, eller när matematiken redan känns som ett minfält efter en lång dag på jobbet. Det är inte ett misslyckande, det är bara verkligheten i en vardag med jobb, syskon och läxor som krockar med varandra.

Många känner igen sig i att motivationen sjunker undan för undan, utan att man riktigt vill bli den föräldern som tjatar om läxor varje kväll. Den känslan beskrivs i artikeln vi såg hur motivationen sjönk, men ville inte bli den där tjatiga familjen, och lösningen behöver inte alltid vara mer press hemifrån.

Via Yepstr kan ni publicera en annons och boka en lokal ungdom som själv klarat den matematik ditt barn just nu kämpar med. Många Yeppar går i gymnasiet eller har precis börjat plugga vidare, och kommer ofta ihåg exakt var det brukar krångla med kateter och hypotenusa, för de satt där själva för bara ett par år sedan. Ni hittar fler exempel på upplägg och priser under läxhjälp, där snittpriset ligger omkring 130 kronor i timmen efter rutavdrag, och varierar med ålder, nivå och typ av hjälp.

Samtidigt får den unga personen sitt första jobb, ett omdöme att bygga vidare på, och lite riktig erfarenhet av att förklara matematik för någon annan. Det är precis den typen av ansvar som brukar stärka självförtroendet inför resten av arbetslivet, samtidigt som er egen tisdagskväll blir lite lugnare på läxfronten.

Vanliga frågor om Pythagoras sats

Vad är Pythagoras sats i korthet?

Pythagoras sats säger att kvadraten på hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika stor som summan av kvadraterna på de två kateterna, alltså a² + b² = c². Den gäller bara trianglar med en rät vinkel, markerad med en liten fyrkant i hörnet.

Hur räknar man Pythagoras sats när hypotenusan är okänd?

Kvadrera båda kateterna, addera dem och ta roten ur summan. Om kateterna är 6 och 8 blir uträkningen 6² + 8² = 36 + 64 = 100, och roten ur 100 är 10, vilket blir hypotenusans längd.

Kan Pythagoras sats användas för att räkna ut vinklar?

Inte direkt. Satsen ger längden på en triangelsida, men för att räkna ut en vinkel i en rätvinklig triangel behövs trigonometriska funktioner som sinus, cosinus eller tangens, utifrån de sidor ni redan känner till.

Fungerar Pythagoras sats på alla trianglar?

Nej, bara på trianglar med exakt en rät vinkel, 90 grader. Saknar triangeln en rät vinkel går det inte att använda a² + b² = c², då krävs andra metoder som cosinussatsen. Vilka geometriska begrepp elever ska kunna i vilken årskurs regleras av Skolverket, som också publicerar äldre nationella prov att öva på.

Behöver ni bara någon som sitter kvar och räknar tillsammans en gång i veckan, går det snabbt att komma igång via appen och hitta en ungdom i närheten som redan klarat samma läxa.